Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & \text { si } x \leq 2 \\ 2(x-3)^{2}+1 & \text { si } x>2\end{cases}$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$ y, además, con el cuidado de que esta vez estamos trabajando con una función partida. $\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$ En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R} $ $\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas - Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, no hay candidatos a asíntotas verticales. - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$. Fijate que la expresión a usar es distinta en cada caso: $ \lim_{x \to +\infty} 2(x-3)^{2}+1 = +\infty$ $ \lim_{x \to -\infty} x^2-1 = +\infty$ Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales. - Asíntotas oblícuas: Probá de calcular $m$, tanto en más como en menos infinito (usando la expresión adecuada en cada caso) y vas a ver que te va a dar infinito, esta función no tiene asíntota oblicua. $\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \): Calculamos, en principio, la derivada de cada tramo de la función: Para \( x \leq 2 \): $ f'(x) = 2x $ Para \( x > 2 \): $ f'(x) = 4(x-3) $ Justo en $x=2$, como ahí la función se parte, hay que hacerlo usando el cociente incremental. Si estudiás esta función igual que como vinimos haciendo en todos los ejercicios de la práctica anterior, vas a ver que $f$ es continua en $x = 2$ pero no es derivable. ¿Y eso qué significa? Que $f'(x)$ no está definida en $x = 2$... pero si estaba en el dominio de $f$! Entonces $x = 2$ es candidato a máximo o mínimo =) $\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: Para \( x \leq 2 \), igualamos \( 2x = 0 \) y obtenemos \( x = 0 \) Para \( x > 2 \), igualamos \( 4(x-3) = 0 \) y obtenemos \( x = 3 \). Entonces, tenemos puntos críticos en \( x = 0 \) en el primer tramo y en \( x = 3 \) en el segundo tramo. $\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces: a) \( x < 0 \) b) \( 0 \leq x \leq 2 \) c) \( 2 < x < 3 \) d) \( x > 3 \) $\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos: